Estructuras geométricas que modelan la dinámica disipativa, los sistemas integrables y la cuantización geométrica

En esta tesis estudiamos varios objetos matemáticos que son esenciales para formular y modelar sistemas físicos. Aplicando las herramientas proporcionadas por la geometría diferencial, desarrollamos y analizamos diferentes estructuras matemáticas que se utilizan en tres contextos físicos: la dinámica disipativa, los sistemas integrables y la quantización geométrica. Para hacerlo, utilizamos principalmente el marco de la geometría b-simpléctica, una extensión natural de la geometría simpléctica diseñada específicamente para variedades con borde, basada en el concepto de b-formas introducido por Melrose, e iniciada por Guillemin, Miranda y Pires.

En primer lugar, en el contexto de la dinámica disipativa, introducimos y estudiamos un conjunto de modelos b-cotangentes. En estos modelos, definidos al fibrado cotangente de una variedad suave, la estructura fundamental es una forma b-simpléctica que es singular a las fibras. Estos modelos generan sistemas dinámicos gobernados por el Hamiltoniano estándar de una partícula libre, acompañado de un potencial que depende de la posición de la partícula. Después de analizar diferentes tipos de potenciales y de encontrar que en todos ellos se observa disipación de la energía del sistema, demostramos que los modelos b-cotangentes permiten una formulación Hamiltoniana adecuada para sistemas disipativos. De este modo, estos modelos amplían el alcance de la dinámica Hamiltoniana y aportan una nueva aproximación en el estudio de sistemas no conservativos.

En segundo lugar, en el contexto de los sistemas integrables, introducimos e investigamos los sistemas b-semitóricos, una familia de sistemas que generaliza simultáneamente los sistemas semitóricos y los sistemas b-tóricos y que está adaptada para las variedades b-simplécticas. Proporcionamos una definición completa de los sistemas b-semitóricos, que hace encajar las características de los sistemas semitóricos en el marco de las variedades b-simplécticas, y construimos tres ejemplos de este tipo de sistema. Los tres ejemplos se basan en modificaciones del sistema de momentos angulares acoplados, un sistema semitórico clásico que representa el acoplamiento de dos rotores rígidos. Nuestro análisis de los ejemplos, que incluye la clasificación de los puntos singulares y el estudio de la dinámica global, nos permite resaltar las características únicas de los sistemas b-semitóricos.

En tercer lugar, en el contexto de la quantización geométrica, introducimos un método de quantización de Bohr-Sommerfeld para las variedades b-simplécticas tóricas. Establecemos que la dimensión de este método de quantización depende del recuento con signo de los puntos enteros a la imagen de la aplicación momento de la acción tórica. Además, demuestramos su equivalencia con la quantización geométrica formal de estas variedades. También presentamos un modelo de quantización geométrica basado en la cohomologia de haces, adecuado para sistemas integrables con singularidades no degeneradas, que también depende del recuento de los puntos enteros a la imagen de la aplicación momento.